Matemáticas · 1.º ESO · Unidad 1

Multiplicación y división de números naturales desde cero

Aprende a multiplicar y dividir paso a paso, con dibujos, ejemplos resueltos y 20 ejercicios con soluciones.

1. ¿Para qué sirven la multiplicación y la división?

La multiplicación permite sumar varias veces la misma cantidad. La división sirve para repartir en partes iguales o averiguar cuántos grupos caben en una cantidad.

Multiplicar

4 cajas con 3 lápices cada una: 4 × 3 = 12 lápices.

Dividir

12 lápices repartidos entre 4 alumnos: 12 ÷ 4 = 3 lápices por alumno.

4 grupos × 3 = 12
La multiplicación agrupa cantidades iguales.
Empezamos desde cero

¿Qué significa multiplicar, de verdad?

Imagina que tienes 3 bolsas y en cada bolsa hay 4 canicas. No necesitamos aprender una regla de memoria: primero contamos las canicas.

Bolsa 1● ● ● ●
Bolsa 2● ● ● ●
Bolsa 3● ● ● ●

Paso 1. En cada bolsa hay 4 canicas. Paso 2. Hay 3 bolsas iguales. Paso 3. Sumamos 4 + 4 + 4 = 12. Paso 4. Para escribir esa suma de forma más corta utilizamos 3 × 4 = 12.

Multiplicar significa sumar varias veces una misma cantidad. 3 × 4 significa 3 grupos de 4.

¿Y qué significa dividir?

Ahora tienes esas 12 canicas y quieres repartirlas por igual entre 3 personas. Das una a cada persona, vuelves a dar otra a cada una y sigues hasta repartirlas todas.

Persona 1● ● ● ●
Persona 2● ● ● ●
Persona 3● ● ● ●

Cada persona recibe 4 canicas. Escribimos 12 ÷ 3 = 4. Dividir, en este ejemplo, significa repartir en partes iguales.

Fíjate: multiplicar y dividir están relacionadas. Si 3 × 4 = 12, entonces 12 ÷ 3 = 4.

2. Elementos de una multiplicación

En 24 × 3 = 72, los números 24 y 3 son los factores y 72 es el producto.

Multiplicación por varias cifras

Para calcular 236 × 14, multiplicamos primero por 4 unidades y después por 1 decena (10). Sumamos los resultados parciales.

236 × 14 —– 944 ← 236 × 4 2360 ← 236 × 10 —– 3304

Resultado: 236 × 14 = 3.304.

Al multiplicar por 10, 100 o 1.000, las cifras se desplazan una, dos o tres posiciones hacia la izquierda y se añaden los ceros correspondientes en la escritura decimal.

Propiedades de la multiplicación

PropiedadEjemploQué significa
Conmutativa3 × 5 = 5 × 3El orden de los factores no cambia el producto.
Asociativa(2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4)Podemos agrupar factores de distintas formas.
Distributiva3 × (10 + 2) = 30 + 6Multiplicamos cada término de la suma.
Elemento neutro8 × 1 = 8Multiplicar por 1 no cambia el número.
Producto por cero8 × 0 = 0Todo número multiplicado por cero da cero.
Ejemplo usando la distributiva:

7 × 13 = 7 × (10 + 3) = 70 + 21 = 91.

No memorices sin entender

Los factores y el producto, explicados

En 5 × 3 = 15, el 5 y el 3 se llaman factores. El 15 se llama producto, que es el resultado. Los nombres pueden parecer complicados, pero solo significan «números que multiplicamos» y «resultado».

5factor×3factor=15producto

¿Por qué 3 × 4 y 4 × 3 dan lo mismo?

Coloca 12 puntos en 3 filas de 4. Si giras el dibujo, verás 4 filas de 3. Los puntos siguen siendo 12.

● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ●
↔
● ● ●● ● ●● ● ●● ● ●

Por eso 3 × 4 = 4 × 3. Se llama propiedad conmutativa.

Multiplicación por dos cifras, sin saltos

Vamos a calcular 23 × 12. El 12 significa 10 + 2, así que podemos multiplicar 23 por cada parte:

  1. 23 × 2 = 46. Multiplicamos por las 2 unidades.
  2. 23 × 10 = 230. Multiplicamos por una decena, que equivale a diez unidades.
  3. Sumamos los resultados: 46 + 230 = 276.
23 × 12 = 23 × (10 + 2) = 230 + 46 = 276.

En la cuenta vertical, la segunda fila empieza una posición más a la izquierda porque estamos multiplicando por decenas, no por unidades. No es un cero «mágico» que ponemos porque sí.

3. La división de números naturales

En una división encontramos cuatro elementos: dividendo, divisor, cociente y resto.

Si repartimos 17 caramelos entre 5 niños, cada uno recibe 3 y sobran 2.

17 = 5 × 3 + 2

Dividendo: 17 Divisor: 5 Cociente: 3 Resto: 2

División exacta y división entera

Exacta

20 ÷ 4 = 5, resto 0.

No sobra ninguna unidad.

Entera (no exacta)

22 ÷ 4 = 5, resto 2.

Sobran 2 unidades.

Regla esencial: el resto siempre debe ser menor que el divisor y nunca negativo al dividir números naturales.

División larga paso a paso

Vamos a calcular 864 ÷ 6:

  1. Tomamos 8 centenas: 8 ÷ 6 = 1. Escribimos 1 y restamos 6; queda 2.
  2. Bajamos el 6: ahora tenemos 26 decenas. 26 ÷ 6 = 4. Restamos 24; queda 2.
  3. Bajamos el 4: tenemos 24 unidades. 24 ÷ 6 = 4. Restamos 24; queda 0.
864 ÷ 6 = 144 Comprobación: 144 × 6 + 0 = 864

Comprobación de cualquier división

Utiliza la prueba de la división:

Dividendo = divisor × cociente + resto

Para 37 ÷ 5: cociente 7, resto 2.

5 × 7 + 2 = 35 + 2 = 37 ✓

Recuerda que no se puede dividir entre cero.

Entiende cada palabra

Las cuatro partes de una división

En 17 ÷ 5 queremos saber cuántos grupos completos de 5 caben dentro de 17.

  1. Hacemos un grupo de 5: quedan 12.
  2. Hacemos otro grupo de 5: quedan 7.
  3. Hacemos un tercer grupo de 5: quedan 2.
  4. Ya no podemos formar otro grupo completo de 5. Hemos hecho 3 grupos y sobran 2.
Grupo 1● ● ● ● ●
Grupo 2● ● ● ● ●
Grupo 3● ● ● ● ●
Sobran● ●

Se escribe 17 ÷ 5 = 3, resto 2.

17dividendo÷5divisor→3cociente+2resto

Dividendo: lo que queremos repartir. Divisor: entre cuántos grupos repartimos o cuántos objetos caben en cada grupo. Cociente: cuántos corresponden a cada grupo o cuántos grupos caben. Resto: lo que sobra.

¿Cómo comprobarlo?

Multiplicamos el divisor por el cociente y sumamos el resto: 5 × 3 + 2 = 17. Si vuelve a salir el dividendo, la cuenta puede ser correcta. Además, el resto debe ser menor que el divisor.

¿Por qué no se puede dividir entre cero? Porque no existe una cantidad que multiplicada por 0 dé 17: cualquier número multiplicado por 0 da 0. Por eso 17 ÷ 0 no está definido.

4. Cómo se relacionan ambas operaciones

Multiplicar y dividir son operaciones inversas cuando la división es exacta:

6 × 4 = 2424 ÷ 4 = 6
Podemos usar la multiplicación para comprobar una división.

Errores frecuentes

  • Olvidar el desplazamiento al multiplicar por las decenas en una multiplicación larga.
  • Confundir el resto con el cociente en una división no exacta.
  • Escribir un resto igual o mayor que el divisor, señal de que aún se puede repartir más.
  • Creer que dividir siempre da un número natural: por ejemplo, 7 ÷ 2 no tiene cociente natural exacto.
Conecta las ideas

La división deshace una multiplicación

Si sabemos que 6 × 4 = 24, entonces sabemos que 24 ÷ 6 = 4 y que 24 ÷ 4 = 6. No hace falta aprender tres hechos distintos: son tres formas de expresar la misma relación.

6 × 4 = 24juntamos grupos⇄24 ÷ 6 = 4repartimos

Si dudas de una división, usa una multiplicación para comprobarla. Por ejemplo, 36 ÷ 9 = 4 porque 9 × 4 = 36.

Dos preguntas que ayudan a elegir operación

«Tengo 4 cajas con 6 lápices en cada una. ¿Cuántos lápices tengo?» → multiplicación, porque juntamos grupos iguales.

«Tengo 24 lápices y quiero poner 6 en cada caja. ¿Cuántas cajas lleno?» → división, porque buscamos cuántos grupos caben.

5. Problemas resueltos

Problema 1 · Material escolar

Una clase compra 18 paquetes con 24 rotuladores cada uno. ¿Cuántos rotuladores hay?

Operación: 18 × 24 = 18 × (20 + 4) = 360 + 72 = 432 rotuladores.

Problema 2 · Excursión

Hay 157 alumnos y cada autobús admite 50. ¿Cuántos autobuses necesitan?

157 ÷ 50 = 3, resto 7. Tres autobuses no bastan porque sobran 7 alumnos. Se necesitan 4 autobuses.

Problema 3 · Reparto

Se reparten 95 cromos entre 8 amigos. ¿Cuántos recibe cada uno y cuántos sobran?

95 = 8 × 11 + 7. Cada amigo recibe 11 cromos y sobran 7.

Problema completo, sin adivinar

Ejemplo: preparar bolsas para una excursión

Una profesora tiene 47 galletas. Quiere preparar bolsas de 6 galletas cada una. ¿Cuántas bolsas completas puede hacer y cuántas galletas sobran?

  1. Entiende la pregunta. No nos preguntan cuántas galletas hay: ya sabemos que hay 47. Nos preguntan cuántos grupos de 6 podemos formar.
  2. Elige la operación. Como formamos grupos iguales, dividimos: 47 ÷ 6.
  3. Busca un múltiplo cercano. 6 × 7 = 42. Pero 6 × 8 = 48, que es más que 47.
  4. Calcula lo que sobra. 47 − 42 = 5.
  5. Responde con palabras. Puede preparar 7 bolsas completas y sobran 5 galletas.
  6. Comprueba. 6 × 7 + 5 = 47 y el resto 5 es menor que 6.
No basta con escribir «7». En un problema conviene responder qué significa ese número: 7 bolsas.

6. Practica con 12 ejercicios interactivos

Resuelve cada operación, pulsa Comprobar y aprende con la explicación. Puedes pedir una pista antes de responder. Al terminar, reinicia la práctica para mejorar tu resultado.

Aciertos: 0 de 12 · Respondidos: 0 de 12

7. Ejercicios para practicar

Resuélvelos antes de abrir las soluciones. Empieza por los básicos y termina con los problemas.

Nivel 1 · Operaciones básicas

  1. Calcula 7 × 8.
    Ver solución56.
  2. Calcula 9 × 12.
    Ver solución108.
  3. Calcula 15 × 6.
    Ver solución90.
  4. Calcula 48 ÷ 6.
    Ver solución8.
  5. Calcula 81 ÷ 9.
    Ver solución9.
  6. Calcula 63 ÷ 7.
    Ver solución9.

Nivel 2 · Varias cifras y propiedades

  1. Calcula 124 × 23.
    Ver solución124 × 20 + 124 × 3 = 2.480 + 372 = 2.852.
  2. Calcula 305 × 14.
    Ver solución305 × 10 + 305 × 4 = 3.050 + 1.220 = 4.270.
  3. Calcula 2.016 ÷ 8.
    Ver solución252, porque 252 × 8 = 2.016.
  4. Calcula 945 ÷ 7.
    Ver solución135, porque 135 × 7 = 945.
  5. Usa la distributiva para calcular 6 × 19.
    Ver solución6 × (20 − 1) = 120 − 6 = 114.
  6. Calcula 25 × 4 × 3 agrupando de forma conveniente.
    Ver solución(25 × 4) × 3 = 100 × 3 = 300.
  7. En 43 ÷ 6, indica cociente y resto.
    Ver soluciónCociente 7 y resto 1; 6 × 7 + 1 = 43.
  8. En 79 ÷ 9, indica cociente y resto.
    Ver soluciónCociente 8 y resto 7; 9 × 8 + 7 = 79.

Nivel 3 · Problemas

  1. Hay 16 filas de 28 asientos. ¿Cuántos asientos hay?
    Ver solución16 × 28 = 448 asientos.
  2. Se reparten 144 libros en 12 estantes por igual. ¿Cuántos van en cada estante?
    Ver solución144 ÷ 12 = 12 libros.
  3. Una tienda recibe 23 cajas de 36 botellas. ¿Cuántas botellas recibe?
    Ver solución23 × 36 = 828 botellas.
  4. Un grupo de 98 personas va en coches de 5 plazas. ¿Cuántos coches necesita como mínimo?
    Ver solución98 ÷ 5 = 19, resto 3. Necesita 20 coches.
  5. Un colegio compra 8 paquetes de 125 hojas y usa 375. ¿Cuántas hojas quedan?
    Ver solución8 × 125 − 375 = 1.000 − 375 = 625 hojas.
  6. Se quieren guardar 1.250 galletas en bolsas de 24. ¿Cuántas bolsas completas se llenan y cuántas galletas sobran?
    Ver solución1.250 = 24 × 52 + 2. Se llenan 52 bolsas y sobran 2 galletas.

8. Resumen para estudiar

ConceptoRecuerda
MultiplicaciónSuma repetida de grupos iguales.
Factores y productoLos factores se multiplican para obtener el producto.
División exactaEl resto es 0.
División enteraEl resto es menor que el divisor.
Prueba de la divisiónDivisor × cociente + resto = dividendo.
Consejo: antes de hacer una operación, piensa qué representa cada número. Al terminar, comprueba si el resultado tiene sentido.

Vídeo explicativo

Próximamente podrás ver aquí una explicación en vídeo con operaciones resueltas paso a paso.

Cuadernillo de la Unidad 1 · Números naturales

Material de refuerzo con teoría resumida, ejercicios adicionales y soluciones. Precio previsto: 5,99 €.

Estará disponible para descargar cuando publiquemos el cuadernillo completo de la unidad.

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