Potencias de números naturales desde cero
Aprende qué son la base y el exponente, cómo calcular potencias y por qué no debemos confundirlas con multiplicaciones. Todo paso a paso, con dibujos y ejercicios que se corrigen solos.
1. Empezamos por algo que ya conoces
Imagina que tienes 3 cajas y que en cada caja hay 3 lápices. En total hay 3 × 3 = 9 lápices.
Ahora imagina que multiplicas el número 3 por sí mismo una vez más: 3 × 3 × 3 = 27.
Escribir muchos factores iguales resulta incómodo. Para abreviar, utilizamos una potencia.
Se lee «tres elevado a tres» o «tres al cubo». El número 3 se repite como factor tres veces.
Una potencia es una forma corta de escribir una multiplicación de factores iguales. No es una multiplicación de la base por el exponente.
2. Las dos partes de una potencia: base y exponente
Base = 4: es el número que vamos a multiplicar por sí mismo.
Exponente = 3: indica cuántas veces aparece la base como factor.
Por tanto, 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
El exponente se escribe pequeño y arriba a la derecha. En una expresión como 4³, no hacemos 4 × 3; hacemos 4 × 4 × 4.
3. Dibujamos una potencia
Vamos a representar 2³ con grupos. El 2 aparece tres veces en la multiplicación:
Primero: 2 × 2 = 4. Después: 4 × 2 = 8. Así sabemos que 2³ = 8.
- 5² = 5 × 5 = 25.
- 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16.
- 10³ = 10 × 10 × 10 = 1000.
4. ¿Qué significa «al cuadrado»?
Cuando el exponente es 2, decimos «al cuadrado». Por ejemplo, 3² se lee «tres al cuadrado».
El nombre tiene una explicación visual: podemos colocar 3 filas de 3 puntos formando un cuadrado.
Hay 3 filas con 3 puntos cada una: 3 × 3 = 9. Por eso 3² = 9.
Otros cuadrados: 1² = 1, 2² = 4, 4² = 16, 5² = 25 y 10² = 100.
5. ¿Qué significa «al cubo»?
Cuando el exponente es 3, decimos «al cubo». Un cubo de 2 unidades de lado tiene 2 capas; cada capa contiene 2 filas de 2 cubitos.
Son 2 × 2 = 4 cubitos por capa, y 2 capas: 4 × 2 = 8 cubitos.
Otros ejemplos: 3³ = 3 × 3 × 3 = 27; 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
6. Potencias de exponente 1 y exponente 0
Exponente 1: una base aparece una sola vez, así que 7¹ = 7, 12¹ = 12.
Exponente 0: cualquier base distinta de cero elevada a cero vale 1. Por ejemplo, 5⁰ = 1 y 100⁰ = 1.
Mira esta secuencia: 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2. Cada vez que bajamos el exponente en una unidad, dividimos entre 2. Por eso 2⁰ = 2 ÷ 2 = 1.
La expresión 0⁰ requiere un tratamiento especial y no la utilizaremos en estos ejercicios.
7. Potencias de 10: una forma muy útil de escribir números grandes
Las potencias de 10 tienen un patrón sencillo:
10¹ = 10
10² = 10 × 10 = 100
10³ = 10 × 10 × 10 = 1000
10⁴ = 10 000
En una potencia de 10 con exponente natural positivo, el resultado es un 1 seguido de tantos ceros como indique el exponente. Así, 10⁵ = 100 000.
Esto nos servirá más adelante para trabajar con números grandes y con el sistema decimal.
8. Cómo calcular una potencia sin equivocarte
Vamos a calcular 3⁴ paso a paso:
- Localiza la base: 3.
- Localiza el exponente: 4.
- Escribe cuatro factores iguales: 3 × 3 × 3 × 3.
- Multiplica poco a poco: 3 × 3 = 9; 9 × 3 = 27; 27 × 3 = 81.
Si te cuesta calcular mentalmente, puedes escribir todas las multiplicaciones intermedias. Lo importante es entender lo que estás haciendo.
9. Potencias dentro de operaciones combinadas
Ahora que conocemos las potencias, ampliamos el orden de las operaciones:
- Potencia: 2³ = 8.
- Multiplicación: 8 × 3 = 24.
- Suma: 5 + 24 = 29.
(2 + 3)² = 5² = 25.
2 + 3² = 2 + 9 = 11.
10. Errores muy frecuentes
4³ = 4 × 4 × 4 = 64, no 12.
3² = 3 × 3 = 9, no 6.
En realidad, 7⁰ = 1.
(2 + 1)³ = 3³ = 27, mientras que 2 + 1³ = 3.
11. Resumen para recordar
En aⁿ, a es la base y n el exponente. Si n es positivo, multiplicamos a por sí mismo n veces.
Al cuadrado: exponente 2. Al cubo: exponente 3. Exponente 1: la propia base. Exponente 0: resultado 1 si la base es distinta de cero.
12. Practica: 12 ejercicios interactivos
Escribe el resultado. Puedes pedir una pista antes de comprobar tu respuesta.
Aciertos: 0 de 12 · Respondidos: 0 de 12
13. Ejercicios para el cuaderno
Hazlos antes de abrir las soluciones.
- 4²
- 2⁵
- 6²
- 3⁴
- 10⁴
- 9¹
- 8⁰
- 5³
- 2³ + 4
- 3 × 2²
- (1 + 3)²
- 20 − 3²
- 2² × 3²
- 6 + 2³ × 2
- (5 − 2)³ + 1
14. Soluciones explicadas
Mostrar las soluciones de los 15 ejercicios
- 4 × 4 = 16.
- 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.
- 6 × 6 = 36.
- 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
- 1 seguido de cuatro ceros = 10 000.
- Exponente 1: 9.
- Base no nula y exponente 0: 1.
- 5 × 5 × 5 = 125.
- 8 + 4 = 12.
- 3 × 4 = 12.
- 4² = 16.
- 20 − 9 = 11.
- 4 × 9 = 36.
- 6 + 8 × 2 = 6 + 16 = 22.
- 3³ + 1 = 27 + 1 = 28.
15. Vídeo explicativo
Próximamente: vídeo original de Matenexo explicando las potencias paso a paso.
16. Cuadernillo de la unidad
Estamos preparando el cuadernillo completo de «Números naturales», con teoría, ejercicios y soluciones. Precio previsto: 5,99 €. Disponible cuando se publique.