Raíces cuadradas de números naturales desde cero
Descubre qué significa una raíz cuadrada, cómo reconocer cuadrados perfectos y cómo calcular raíces sencillas sin memorizar reglas que no entiendes.
1. Empezamos desde cero: recordar qué es elevar al cuadrado
Antes de aprender raíces cuadradas, necesitamos recordar una idea de la lección anterior: elevar un número al cuadrado significa multiplicarlo por sí mismo.
3² se lee «tres al cuadrado» y significa 3 × 3 = 9.
5² significa 5 × 5 = 25.
El pequeño 2 que aparece arriba se llama exponente. No significa multiplicar por 2: 4² = 4 × 4 = 16, no 8.
Si sabes multiplicar un número por sí mismo, ya tienes la herramienta principal para entender las raíces cuadradas.
2. ¿Por qué se llama «cuadrado»? Vamos a dibujarlo
Imagina que colocamos fichas formando un cuadrado: 3 filas y 3 columnas.
Si tienes 9 fichas y quieres formar un cuadrado con el mismo número de filas que de columnas, necesitas 3 fichas en cada lado. Eso es lo que pregunta una raíz cuadrada.
3. ¿Qué es una raíz cuadrada?
La raíz cuadrada hace la pregunta contraria a elevar al cuadrado:
¿Cuánto es 4 × 4?
4² = 16
¿Qué número, multiplicado por sí mismo, da 16?
√16 = 4
El signo √ se llama símbolo radical. El número que colocamos dentro se llama radicando. En √16, el radicando es 16 y el resultado es 4.
√25 = 5 porque 5 × 5 = 25.
La raíz cuadrada de un número natural es el número no negativo cuyo cuadrado da ese número, cuando existe un resultado exacto natural.
Importante: aunque 5 × 5 = 25 y (−5) × (−5) = 25, el símbolo √25 representa solamente 5, la raíz cuadrada principal (no negativa). Más adelante estudiarás los números negativos.
4. Cómo calcular una raíz cuadrada exacta
Vamos a calcular √36 paso a paso.
El procedimiento es el mismo con √49: como 7 × 7 = 49, entonces √49 = 7.
5. Tabla de cuadrados perfectos: del 0 al 12
Un cuadrado perfecto es un número que obtenemos al multiplicar un número natural por sí mismo. Estos son los primeros que conviene conocer:
| Número | Multiplicación | Cuadrado | Raíz inversa |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 × 0 | 0 | √0 = 0 |
| 1 | 1 × 1 | 1 | √1 = 1 |
| 2 | 2 × 2 | 4 | √4 = 2 |
| 3 | 3 × 3 | 9 | √9 = 3 |
| 4 | 4 × 4 | 16 | √16 = 4 |
| 5 | 5 × 5 | 25 | √25 = 5 |
| 6 | 6 × 6 | 36 | √36 = 6 |
| 7 | 7 × 7 | 49 | √49 = 7 |
| 8 | 8 × 8 | 64 | √64 = 8 |
| 9 | 9 × 9 | 81 | √81 = 9 |
| 10 | 10 × 10 | 100 | √100 = 10 |
| 11 | 11 × 11 | 121 | √121 = 11 |
| 12 | 12 × 12 | 144 | √144 = 12 |
No hace falta memorizarlo todo de golpe: practica primero del 1 al 5 y después amplía hasta el 12.
6. ¿Qué ocurre si la raíz no es exacta?
Probemos con √20. ¿Existe un número natural que, multiplicado por sí mismo, dé exactamente 20?
Sabemos que 4² = 16 y 5² = 25. Como 20 está entre 16 y 25, su raíz está entre 4 y 5.
No hay ningún número natural que sea exactamente √20. Decimos que 20 no es un cuadrado perfecto.
Podemos dejar la respuesta como √20 o dar una aproximación decimal si nos la piden. No debemos escribir √20 = 4 ni √20 = 5, porque ninguno de esos valores es exacto.
Otro ejemplo: √10 está entre 3 y 4, porque 3² = 9 y 4² = 16.
7. Las raíces cuadradas de 0 y 1
Porque 0 × 0 = 0.
Porque 1 × 1 = 1.
En esta unidad trabajamos con números naturales. No podemos calcular una raíz cuadrada real de un número negativo: ningún número real multiplicado por sí mismo da un resultado negativo.
8. Raíces cuadradas dentro de operaciones combinadas
Cuando hay raíces exactas en una operación combinada, primero calculamos esas raíces (igual que las potencias), respetando los paréntesis.
- La raíz es √36 = 6.
- Queda 5 + 6 × 2.
- Multiplicamos: 6 × 2 = 12.
- Sumamos: 5 + 12 = 17.
- Dentro del paréntesis: √25 = 5.
- Sumamos: 5 + 3 = 8.
- Multiplicamos: 8 × 2 = 16.
9. Problemas de la vida cotidiana
En un patio hay 64 baldosas colocadas en forma de cuadrado perfecto, con el mismo número de filas y columnas. ¿Cuántas baldosas hay en cada fila?
- Buscamos un número que multiplicado por sí mismo dé 64.
- 8 × 8 = 64.
- Hay 8 baldosas por fila y 8 filas.
Un tablero cuadrado tiene 49 casillas. ¿Cuántas casillas tiene cada lado?
√49 = 7, porque 7 × 7 = 49. Cada lado tiene 7 casillas.
10. Errores frecuentes
√36 = 6, no 18. La raíz cuadrada pregunta qué número elevado al cuadrado da 36.
√16 = 4, porque 4 × 4 = 16.
El símbolo √25 representa 5. La ecuación x² = 25 tiene dos soluciones, 5 y −5, pero es otra pregunta.
4² = 16 y 5² = 25. Por tanto, √18 está entre 4 y 5, y no es 4 exactamente.
11. Resumen de la lección
√a significa «el número no negativo que, multiplicado por sí mismo, da a».
Por ejemplo, √81 = 9 porque 9² = 81.
Si el número no es un cuadrado perfecto, la raíz no es un número natural exacto: por ejemplo, 3 < √15 < 4.
12. Practica: 12 ejercicios interactivos
Escribe el resultado, pulsa Comprobar y consulta la pista si la necesitas. Al responder verás una explicación.
Aciertos: 0 de 12 · Respondidos: 0 de 12
13. Ejercicios para el cuaderno
Resuelve estos ejercicios antes de abrir las soluciones. En las raíces exactas, comprueba el resultado multiplicándolo por sí mismo.
- √4
- √36
- √121
- √144
- √49 + 6
- √64 − 3
- 2 × √25
- √100 ÷ 2
- (√9 + 5) × 2
- √81 − √16
- Entre qué dos números naturales consecutivos está √7?
- Entre qué dos números naturales consecutivos está √30?
- ¿Es 50 un cuadrado perfecto? Razona.
- Un cuadrado tiene 81 casillas. ¿Cuántas casillas tiene cada lado?
- Un patio cuadrado tiene 100 baldosas iguales dispuestas en filas y columnas. ¿Cuántas hay por fila?
14. Soluciones explicadas
Mostrar soluciones de los 15 ejercicios
- 2, porque 2² = 4.
- 6, porque 6² = 36.
- 11, porque 11² = 121.
- 12, porque 12² = 144.
- 7 + 6 = 13.
- 8 − 3 = 5.
- 2 × 5 = 10.
- 10 ÷ 2 = 5.
- (3 + 5) × 2 = 16.
- 9 − 4 = 5.
- Entre 2 y 3: 2² = 4 y 3² = 9.
- Entre 5 y 6: 5² = 25 y 6² = 36.
- No: 7² = 49 y 8² = 64, y 50 está entre ambos.
- 9, porque √81 = 9.
- 10, porque √100 = 10.
15. Vídeo explicativo
Próximamente añadiremos aquí un vídeo original de Matenexo explicando las raíces cuadradas con una pizarra digital y ejemplos paso a paso.
16. Cuadernillo de la unidad
Estamos preparando el cuadernillo completo de la unidad «Números naturales», con teoría resumida, ejercicios y soluciones. Precio previsto: 5,99 €. Se podrá descargar cuando esté publicado.